Afin de faciliter la distinction des différents sons, ceux-ci ont été classés par ordre de progression linéaire, avec leurs fréquences et les gammes dans lesquelles eux-mêmes ou leurs octaves apparaissent:
| Do | 528 Hz | do, fa, sol, si bémol |
| Do | 521 11/54 Hz | Mi bémol |
| Do dièse | 556 7/8 Hz | Ré, Si, Fa dièse, Do dièse |
| Do dièse | 550 Hz | La, Mi, Sol dièse |
| Ré | 594 Hz | Do-Sol |
| Ré | 586 2/3 Hz | La, Fa, Si bémol, Mi bémol |
| Ré dièse | 618 3⁄4 Hz | Mi, Si, Fa dièse, Sol dièse |
| Ré dièse | 626 31⁄64 Hz | Do dièse |
| Mi bémol | 625 4⁄9 Hz | Si bémol |
| Mi | 660 Hz | Do, Sol, La, Mi, Si bémol |
| Mi | 668 1⁄4 Hz | Ré |
| Mi dièse | 696 3/32 Hz | Fa dièse, Do dièse |
| Mi dièse | 687 1/2 Hz | Sol dièse |
| Fa | 704 Hz | Do, Fa, Si bémol |
| F dièse | 742 1/2 Hz | Sol, Ré, Mi, Si, Fa dièse, Do dièse |
| F dièse | 753 1/3 Hz | La |
| Sol | 792 Hz | Do, Ré, Fa, Sol |
| Sol | 782 4/13 Hz | Si bémol |
| Sol | 781 34/36 Hz | Mi bémol |
| Fa double dièse | 773 6/16 Hz | Sol dièse |
| Sol dièse | 825 Hz | La, Mi, Si, Sol dièse |
| Sol dièse | 835 5/16 Hz | Fa dièse, Do dièse |
| La bémol | 833 25/27 Hz | Mi bémol |
| La | 880 Hz | Do, Mi, Fa, La |
| La | 881 Hz | Ré |
| La | 891 Hz | Sol |
| La dièse | 928 1⁄8 Hz | Si, Fa dièse, Do dièse, Sol dièse |
| Si bémol | 938 2⁄3 Hz | Fa, Si bémol, Mi bémol |
| Si | 990 Hz | Do, Sol, Ré, La, Mi, Si, Fa |
| Si | 1031 1⁄4 Hz | Sol |
| Si | 1044 8⁄64 Hz | Do |
Ainsi, nous constatons que trente et un sons différents sont nécessaires pour obtenir les intervalles diatoniques complets dans seulement douze tonalités. Il n’est pas nécessaire de rappeler au lecteur qu’il existe d’autres tonalités utilisées en musique. Nous n’avons d’ailleurs pas encore considéré les tonalités de La bémol, Ré bémol et Sol bémol. Les fréquences des notes fondamentales de ces gammes ont été calculées comme suit :
La bémol est la quarte juste de Mi bémol, dont la fréquence, calculée précédemment, est de 625 Hz. Par conséquent, La bémol a une fréquence de 833 25/27 Hz.
Ré bémol est la quarte juste de La bémol, dont la fréquence, calculée précédemment, est de 833 25/27 Hz. Par conséquent, Ré bémol a une fréquence de 555 154/162 Hz.
Sol bémol est la quarte juste de Ré bémol, dont la fréquence, calculée précédemment, est de 555 154/162 Hz. Par conséquent, Sol bémol a une fréquence de 741 130/486 Hz.
Nous sommes donc en mesure de construire les gammes supplémentaires suivantes :
| La bémol | Si bémol | Do | Ré bémol | Mi bémol | Fa | Sol | La bémol |
| 833 25/27 | 938 26/316 | 1042 73/236 | 1111 73/81 | 1250 8/9 | 1389 21/52 | 1563 132/216 | 1666 50/54 |
| Ré bémol | Mi bémol | Fa | Sol bémol | La bémol | Si bémol | Do | Ré bémol |
| 555 154/162 | 624 640/1290 | 694 365/648 | 741 130/486 | 833 150/162 | 926 284/486 | 1042 528⁄1296 | 1111 146/152 |
| Sol bémol | La bémol | Si bémol | Do bémol | Ré bémol | Mi bémol | Fa | Sol bémol |
| 741 130/486 | 823 3600/3888 | 926 1136/1944 | 988 520/1458 | 1111 308/456 | 1285 650/1458 | 1389 1408/3088 | 1482 260/486 |
En examinant le dernier tableau, le lecteur constatera que nous avons obtenu quatorze nouveaux sons. Ils sont représentés graphiquement de la manière suivante :
Dans la gamme de La bémol, les nouveaux sons sont Si bémol, Do, Ré bémol, Fa et Sol.
Dans la gamme de Ré bémol, les nouveaux sons sont Mi bémol, Fa, Sol bémol et La bémol.
Dans la gamme de Sol bémol, les nouveaux sons sont La bémol, Do bémol, Ré bémol, Mi bémol et Fa.
Aucun de ces sons n’avait été obtenu dans les gammes précédentes ; par conséquent, il faut considérer qu’il reste quatorze sons à ajouter aux trente et un que nous avons déjà trouvés.
Les calculs précédents suffiraient à nous fournir les intervalles diatoniques dans toutes les tonalités utilisées en musique. L’harmonie exige cependant certains autres intervalles : les tierces mineures, les septièmes mineures, les septièmes de dominante et les sixtes mineures. Par conséquent, si nous voulons approfondir la question de la justesse, nous devons calculer les sons nécessaires pour constituer ces intervalles dans les gammes qui en sont actuellement dépourvues. En examinant les tables déjà établies, nous constatons qu’il manque les éléments suivants :
Des tierces mineures pour les notes fondamentales des gammes de Do, Ré, Mi bémol, Fa, Sol, Si bémol, La bémol, Ré bémol et Sol bémol.
Des sixtes mineures pour les notes fondamentales des gammes de Do, Mi bémol, Si bémol, La bémol, Sol bémol et Ré bémol.
Des septièmes de dominante pour les notes fondamentales des gammes de Mi bémol, Fa et Si bémol.
Septièmes mineures sur les notes fondamentales des gammes de La bémol, Ré bémol et Sol bémol.
Nous n’aurons aucune difficulté à calculer les fréquences des notes requises en suivant les mêmes procédés que précédemment.
| Notes fondamentales | ||||||||
| Do | Ré | Mi bémol | Fa | Sol | Si bémol | La bémol | Ré bémol | Sol bémol |
| 528 | 594 | 625 4⁄9 | 704 | 792 | 938 2⁄3 | 833 25⁄27 | 555 146⁄152 | 741 124⁄486 |
| Tiers mineures — 6/5 Ratio | ||||||||
| Mi bémol | Fa | Sol bémol | La bémol | Si bémol | Ré bémol | Do bémol | Fa bémol | Si double bémol |
| 633 3⁄5 | 712 4⁄5 | 750 4⁄55 | 844 4⁄5 | 950 2⁄5 | 1125 11⁄15 | 1000 106⁄135 | 667 66⁄810 | 889 1330/2430 |
| Sixtes mineures – 8/5 Ratio | ||||||||
| La bémol | Do bémol | Sol bémol | Fa bémol | Si double bémol | Mi double bémol | |||
| 841 4/5 | 1000 32/45 | 1501 13/15 | 667 38/276 | 889 358/810 | 593 10/2400 | |||
| Septièmes dominantes – 16/9 Ratio | ||||||||
| Ré bémol | Mi bémol | La bémol | ||||||
| 1111 80/81 | 1251 5/9 | 1668 20/27 | ||||||
| Septièmes mineures – 9/5 Ratio | ||||||||
| Sol bémol | Do bémol | Fa bémol | ||||||
| 741 64/243 | 988 359/810 | 658 2908/4374 | ||||||
Les résultats de ces calculs peuvent maintenant être compilés et résumés. On constate qu’il faut pas moins de soixante-six sons distincts pour produire les intervalles nécessaires dans toutes les gammes possibles. Ces sons sont ainsi classés :
| Sons différents dans les douze gammes diatoniques | 31 |
| Sons manquants pour compléter les gammes diatoniques de La bémol, Ré bémol et Sol bémol | 14 |
| Tiers mineurs manquants dans les gammes de Do, Mi bémol, Fa, Sol et Si bémol | 6 |
| Sixièmes mineures manquantes dans les gammes de Do, Mi bémol et Si bémol | 3 |
| Septièmes de dominante manquantes dans les gammes de Mi bémol, Fa et Si bémol | 3 |
| Tiers mineurs manquants dans les gammes de La bémol, Ré bémol et Sol bémol | 3 |
| Sixièmes mineures manquantes dans les gammes de La bémol, Ré bémol et Sol bémol | 3 |
| Nombre total de sons dans une octave | 66 |
La conclusion qui s’impose de cette analyse est que les sons véritables des gammes musicales justes diffèrent considérablement de ceux que l’on entend au piano. On peut même pousser le raisonnement plus loin. Si l’expression de tous les degrés des gammes musicales justes requiert cet impressionnant éventail de sons, alors assurément, les sons produits au piano ne constituent pas l’ensemble des sons justes requis, mais sont totalement différents de tous. Car il est évident que si les soixante-six sons justes de l’octave doivent être réduits aux treize que l’on trouve au piano, la compression à laquelle les premiers sont soumis contraindra les seconds à de nombreux compromis. En fait, à l’exception de la note de référence, à partir de laquelle tous les calculs et tout accordage doivent être effectués, et de ses octaves, aucun son du piano, tel qu’il est actuellement accordé, n’est identique à un son de la gamme juste. Le procédé auquel nous avons fait allusion, et qui est nécessaire pour garantir au piano et à tous les autres instruments à tonalité fixe la capacité d’interpréter la musique dans toutes les tonalités requises pour la juste expression des idées des compositeurs, s’appelle le tempérament. De l’habileté et de la finesse avec lesquelles ce compromis avec les lois naturelles est réalisé dépendent toute la beauté de la musique et tout le plaisir que nous en retirons, telle que nous avons l’habitude de l’entendre. Il serait vain de prétendre que le tempérament est préférable à la justesse pure, mais il est tout aussi vain et insensé de dénigrer le système de tempérament communément admis tant que le savoir-faire des facteurs d’instruments et le goût des interprètes n’auront pas atteint le niveau permettant d’apprécier la beauté de la justesse et de concevoir des moyens mécaniques pour l’obtenir. En attendant, nous devons nous contenter de ce que nous avons et faire au mieux. Certes, des tentatives ont été faites pour créer des instruments capables de produire des intervalles purs dans toutes les tonalités, mais elles ont invariablement échoué. La plupart d’entre eux ont été contraints de recourir, dans une certaine mesure, à l’intonation tempérée, tandis que d’autres se sont avérés mécaniquement impossibles.
Quoi qu’il en soit, il convient de rappeler que le piano, tel qu’il est construit et joué actuellement, repose entièrement sur un tempérament égal. Le piano s’est tellement ancré dans la popularité que, pour la plupart des gens, musique et tempérament sont devenus synonymes. Il est pourtant essentiel de pouvoir établir de véritables distinctions, car la facture instrumentale des pianos doit être largement guidée par les considérations découlant de la nécessité et de la réalité du tempérament.
CHAPITRE VI.
LE TEMPÉRAMENT ÉGAL.
Comme suggéré dans le chapitre précédent, il est nécessaire de trouver un compromis entre les exigences d’une justesse musicale parfaite et les limitations des instruments de musique, afin de rendre possible l’exécution musicale. Le tempérament égal, aujourd’hui universellement employé, n’a acquis sa position dominante actuelle qu’au cours du siècle dernier. Il semble avoir été utilisé pour la première fois par Jean-Sébastien Bach. Haendel l’ignorait, et il a dû lutter tout au long du XVIIIe siècle contre le système mésotonique.
Les systèmes tempéramentaux étaient cependant inventés et utilisés bien avant cette période. Pythagore, philosophe grec préchrétien, fut l’un des premiers à expérimenter dans ce domaine. La méthode qu’il a mise au point nous est parvenue, et nous pouvons ainsi discerner la différence entre elle et la gamme diatonique moderne. Sans entrer dans les détails, notons que le système pythagoricien ne reconnaît que deux intervalles : le ton et le demi-ton. La gamme diatonique, comme nous le savons, comporte un ton majeur, un ton mineur et un demi-ton diatonique. La gamme pythagoricienne inclut des quintes justes et des tierces augmentées, et ne permet pas de reproduire les effets de l’harmonie moderne.
La tentative suivante d’adapter le compromis nécessaire aux besoins de la musique pratique fut introduite après que la gamme diatonique moderne fut devenue la méthode standard de division en octaves, c’est-à-dire au XVe siècle. On l’a diversement appelée « tempérament mésotonique », « mean-tone » ou encore « vulgar ». Dans cette méthode, le ton est une moyenne entre les tons majeurs et mineurs de la gamme diatonique. Toutes les quintes sont abaissées, tandis que les tierces sont justes. Un tel système présente des avantages et des inconvénients. D’une part, les gammes les plus proches et les plus fréquemment utilisées sont plus pures et plus agréables ; d’autre part, les gammes les plus éloignées sont extrêmement dissonantes, à tel point qu’elles ne peuvent être employées avec plaisir ni par l’interprète ni par l’auditeur. Toutefois, tant que la musique est écrite dans les gammes les plus courantes, le tempérament mésotonique, qui présente le grand avantage d’avoir des tierces pures, est beaucoup plus agréable à l’oreille. En fait, jusqu’à récemment, il n’était pas rare de trouver dans les églises de village d’Europe des orgues encore accordées selon ce système. Le système mésotonique a d’abord rendu l’harmonie, telle que nous la concevons, possible. Mais à mesure que les connaissances et l’imagination des compositeurs s’élargissaient, le désir s’est naturellement fait sentir d’exploiter les possibilités harmonique accrues qu’offrait la maîtrise de toutes les gammes possibles. Il a donc fallu trouver un substitut au système mésotonique, et c’est ainsi qu’est née la méthode moderne et universellement acceptée, connue sous le nom de tempérament égal. Selon cette méthode, aujourd’hui universelle, l’octave est divisée en treize demi-tons égaux. Toute distinction entre tons majeurs et mineurs, entre demi-tons diatoniques et chromatiques, disparaît, et l’on considère que le son situé entre deux notes quelconques de la gamme est respectivement aussi haut et aussi bas que le son qui le précède et celui qui le suit immédiatement.
Cette méthode implique, bien sûr, un réarrangement de toute la gamme, car il est nécessaire de modifier la hauteur précise de chaque son dans l’étendue de l’octave afin d’obtenir l’égalisation. Ainsi, la gamme tempérée égale ne possède qu’un seul intervalle parfaitement accordé : l’octave. Tous les autres doivent être altérés, plus ou moins. Chaque accord, chaque intervalle, à une exception près, est donc plus ou moins désaccordé. L’effet de ce système de tempérament est difficilement perceptible au piano, en raison de la fugacité de sa sonorité ; mais l’orgue révèle souvent la dissonance de certains intervalles et accords de manière très désagréable. Le pire défaut du tempérament égal réside peut-être dans l’impossibilité de distinguer clairement les véritables consonances des véritables dissonances. Lorsque les distinctions réelles entre les intervalles sont fusionnées, il est impossible qu’il existe entre eux les distinctions telles que les présente la gamme véritable. Par conséquent, nous sommes souvent contraints de passer à côté de nombreuses nuances subtiles de consonance ou de dissonance relative qui seraient clairement mises en évidence dans une gamme où les intervalles seraient fidèlement représentés. Nous savons déjà, cependant, qu’une telle méthode est actuellement impossible, et nous devons nous résigner au compromis actuel, en espérant de meilleures solutions à l’avenir. Mais, en même temps, le tempérament égal possède de nombreux avantages. Comme expliqué précédemment, il ne peut y avoir de différence entre le dièse d’une note tempérée donnée et le bémol de la note tempérée située un ton au-dessus. Autrement dit, le dièse de Do dans le tempérament égal est identique au bémol de Ré, car ces deux notes sont considérées comme équidistantes de la note qui les sépare, et les trois font simplement partie d’une série de demi-tons égaux. Dans ces conditions, l’ambiguïté liée à l’identité de ces sons s’avère souvent précieuse pour une modulation rapide et aisée. Il existe des cas où le lien entre deux modulations serait totalement rompu sans l’intonation particulière apportée par les sons tempérés. En résumé, il semble que le tempérament égal, aussi imparfait et artificiel soit-il, ne puisse être facilement remplacé dans l’état actuel de nos connaissances acoustiques et des techniques musicales mécaniques.
Afin que le lecteur puisse mieux saisir les effets concrets du tempérament égal sur l’intonation musicale, le tableau suivant présente les différences de fréquence entre les sons justes de la gamme chromatique et les sons tempérés correspondants : (Nous connaissons déjà l’identité, dans le tempérament égal, des dièses et des bémols de degrés adjacents de la gamme.) Do = 528 Hz (tonalité philharmonique).
| Gamme juste | Gamme tempérée égale | ||
| Do | 528 | Do | 528 |
| Si | 495 | Si | 498 7⁄32 |
| Si bémol | 475 1⁄5 | Si bémol — La dièse | 470 7⁄20 |
| La dièse | 458 1⁄3 | ||
| La | 440 | La | 440 |
| La bémol | 422 2⁄5 | La bémol — Sol dièse | 417 1⁄20 |
| Sol dièse | 412 1⁄2 | ||
| Sol | 396 | Sol | 391 11⁄20 |
| Sol bémol | 380 4⁄25 | Sol bémol—Fa dièse | 373 7⁄20 |
| Fa dièse | 366 2⁄3 | ||
| Fa | 352 | Fa | 342 4⁄10 |
| Mi | 330 | Mi | 332 17⁄20 |
| Mi bémol | 316 4⁄5 | Mi bémol — Ré dièse | 313 19⁄20 |
| Ré dièse | 309 11⁄24 | ||
| Ré | 297 | Ré | 296 7⁄20 |
| Ré bémol | 285 3⁄25 | Ré bémol—Do dièse | 279 14⁄20 |
| Do dièse | 275 | ||
| Do | 264 | Do | 264 |
Il serait hors de propos, dans le cadre de notre propos immédiat, d’aborder plus particulièrement la possibilité de fabriquer des pianos à l’intonation pure, par opposition aux sonorités tempérées que nous avons présentées. Nous avons déjà mentionné que le tempérament égal est devenu si étroitement lié à l’interprétation musicale que la plupart des musiciens sont probablement incapables de distinguer entre sonorité pure et sonorité tempérée.
Nous avons déjà souligné, et la consultation des différents tableaux le confirmera, que le tempérament égal impose une intonation excessivement imprécise à un nombre très restreint d’intervalles musicaux. Ainsi, l’octave est pure, les quartes et les quintes le sont presque, et seules les secondes, les tierces, les sixtes et les septièmes sont suffisamment imprécises pour être perceptibles par d’autres oreilles que celles de l’accordeur de piano professionnel. En effet, il est fort douteux que le grand public puisse un jour être suffisamment instruit pour apprécier les différences entre les quartes et les quintes pures et celles du tempérament égal. Il convient toutefois de rappeler que la deuxième et la septième notes, au moins, constituent des dissonances, qu’elles soient parfaitement justes ou non.
On peut légitimement s’interroger sur l’avantage réel que procurerait la maîtrise mécanique d’une justesse pianistique parfaite ; on peut se demander ce que l’art y gagnerait, et la réponse semble être que tout bénéfice concevable serait si minime qu’il en serait pratiquement négligeable.
CHAPITRE VII.
LES CORDES DE PIANO ET LEURS DIMENSIONS PROPRES.
Les cordes d’un piano moderne sont en acier coulé et présentent une épaisseur et une rigidité relativement importantes. Autrement dit, elles possèdent ces caractéristiques à un degré bien supérieur à celles des cordes de tout autre instrument de musique utilisant de tels matériaux pour produire des sons. Les cordes de tout instrument de la famille des violes, par exemple, sont si différentes de celles du piano qu’aucune comparaison de leur comportement respectif sous tension ne peut intéresser quiconque, hormis le scientifique. L’étude des cordes de piano nous confronte donc à un problème particulier et inhabituel que nous devrons examiner en détail. Nous étudierons les effets spécifiques produits par la tension élevée, l’épaisseur et la rigidité importantes des cordes, ainsi que les phénomènes singuliers observés dans le cas des cordes de basse revêtues. Nous remarquerons que les cordes sont responsables de nombreux désagréments dont on les accuse rarement, et que leurs proportions, notamment leur longueur et leur tension, ne suffisent pas à elles seules à résoudre l’ensemble du problème que leur dimensionnement pose au concepteur. Malheureusement, la nature intrinsèque des fils d’acier et autres n’a pas reçu l’attention qu’elle mérite. Cependant, aucun exposé des principes de conception du piano ne saurait être complet sans aborder les phénomènes ainsi présentés. L’étude que nous allons entreprendre nous conduira à développer davantage les principes généraux que nous énonceons actuellement, et nous pourrons alors formuler des règles d’application générale applicables à la résolution pratique des nombreux problèmes inhérents à la conception du piano.
Comme on le sait généralement, les cordes chargées de produire les sons des deux octaves les plus graves du piano sont habituellement constituées d’un mélange de fil d’acier et d’un autre matériau, généralement du cuivre ou du fer. Ce dernier est enroulé autour d’une âme en fil d’acier, et cet enroulement est gradué, en quantité et en épaisseur, selon la hauteur de note souhaitée pour chaque corde. Ce procédé se justifie aisément. En effet, comme nous l’avons déjà montré, deux cordes de longueurs respectives de 2:1 produiront, toutes choses égales par ailleurs, des sons musicaux séparés par l’intervalle d’une octave. Par conséquent, dans des conditions mécaniques parfaites, la longueur de chaque corde d’un piano devrait respecter cette règle et être égale à la moitié ou au double de celle de la corde produisant l’octave supérieure ou inférieure. L’application stricte de cette règle est toutefois soumise à certaines adaptations pratiques sur toute la tessiture. Celles-ci seront abordées ultérieurement.
Même en l’absence de ces considérations, cette condition idéale ne pourrait être atteinte. Les difficultés mécaniques rencontrées empêcheraient systématiquement la mise en œuvre d’un tel agencement sur toute la tessiture de l’instrument. En effet, pour respecter scrupuleusement cette règle, il faudrait une longueur de 6,5 m pour le do grave, en supposant une longueur de 5 cm pour la note la plus aiguë de même tessiture. Ceci impliquerait une longueur ou une hauteur d’instrument de près de 7,30 mètres, rendant une telle construction impossible. De plus, l’homogénéité du timbre serait fortement compromise si les cordes les plus graves présentaient de telles dimensions. Pour garantir une sonorité homogène, il est nécessaire, comme indiqué précédemment, d’égaliser autant que possible les modes de vibration propres à chaque corde. De toute évidence, la nature du coup produit par une corde de 6,5 m de long est très différente de celle qui produirait des vibrations similaires sur une corde dix fois plus courte. Enfin, maintenir la tension requise sur des cordes aussi longues pose des problèmes mécaniques qui relèvent davantage de l’ingénierie que de la facture de pianos.
Pour ces raisons et d’autres encore, on a pris l’habitude de ralentir artificiellement la fréquence de vibration des cordes de basse en les enroulant de fil de laiton, de fer ou de cuivre. Naturellement, la forme des vibrations produites par ces cordes enroulées est totalement différente de celle que peut produire un simple fil d’acier. Le fil de fer ou de cuivre est lui-même mis en vibration, indépendamment et simultanément avec le fil d’acier, de sorte qu’une corde peut émettre deux séries de vibrations distinctes, entraînant un déséquilibre des harmoniques supérieures et la production concomitante de battements en quantité plus ou moins perceptible. Si, de surcroît, les cordes de basse ne sont pas dimensionnées avec une précision approximative quant à leurs longueurs, épaisseurs et autres dimensions relatives, il en résultera deux causes distinctes de dissonance et d’irrégularité du timbre, chacune suffisante à elle seule pour produire un résultat sonore très désagréable. Il est donc clair qu’une attention particulière doit être portée à la conception du montage des cordes si l’on veut atteindre une excellente qualité sonore.
