Outre ces lois importantes, il en existe d’autres qui concernent les sons musicaux produits par les cordes. Grâce à elles, nous connaissons les proportions relatives des cordes qui, toutes choses égales par ailleurs, permettent d’obtenir les différentes notes de la gamme musicale. Si une corde musicale parfaite est tendue et mise en vibration, on constate qu’une octave exactement supérieure à la note émise par la corde entière peut être produite en divisant la corde précisément en son milieu et en faisant vibrer l’une des deux moitiés. Or, nous avons déjà noté que le nombre de vibrations d’une corde est proportionnel à sa longueur ; il est donc évident que les moitiés de la corde donnée vibrent deux fois plus vite que la corde entière, et que, par conséquent, l’octave d’une note est produite par un nombre de vibrations double ou moitié de celui qui suffit à produire la note donnée.
En poursuivant l’expérience, nous pouvons, en divisant la corde en d’autres points, obtenir toutes les autres notes de la gamme musicale. Il ne sera pas nécessaire de répéter l’explication pour chaque cas, et le lecteur n’aura aucune difficulté à comprendre le tableau suivant, qui indique la longueur relative de corde nécessaire pour produire les huit notes de la gamme diatonique de do majeur, en prenant la longueur de la corde entière qui donne la note fondamentale comme 1, et en considérant que toutes les autres conditions pertinentes restent égales :
| Do | Ré | Mi | Fa | Sol | La | Si | Do |
| 1 | 8⁄9 | 4⁄5 | 3⁄4 | 2⁄3 | 3⁄5 | 8⁄15 | 1⁄2 |
| Note fondamentale | 2e | 3e | 4e | 5e | 6e | 7e | Octave |
À première vue, il pourrait sembler que les données ci-dessus devraient nous fournir toutes les informations nécessaires concernant les phénomènes des cordes vibrantes. Sans aucun doute, les difficultés rencontrées par le concepteur de pianos seraient minimes s’il n’y avait rien d’autre à apprendre. Cependant, nos problèmes ne font que commencer, et les difficultés qui subsistent sont plus importantes que toutes celles que nous avons étudiées jusqu’à présent. Ces difficultés trouvent leur origine dans la nature des sons émis par les cordes musicales.
Bien que nous ayons étudié les vitesses de vibration et les hauteurs relatives des cordes dans diverses conditions, nous n’avons pas encore prêté attention aux autres difficultés qui pourraient survenir dans des circonstances totalement différentes. Il existe cependant certains phénomènes très importants qui sont déterminés par la nature des cordes elles-mêmes, indépendamment de toutes les autres conditions. Ces phénomènes affectent la constitution des sons que toute corde musicale peut produire. Les sons produits par les cordes musicales ne sont pas et ne peuvent pas être des sons simples. Cette particularité provient du fait que ces cordes, comme la plupart des autres dispositifs de production de sons musicaux, sont incapables d’effectuer des vibrations parfaitement simples. Si une corde vibrait uniformément et constamment dans son ensemble, ses mouvements pourraient être comparés au balancement rythmique d’un pendule, et les sons qu’elle émettrait seraient absolument simples et absolument purs. Or, ce n’est jamais le cas. Aucune corde ne vibre jamais dans son ensemble sans vibrer simultanément en segments, qui sont des parties aliquotes de l’ensemble. Ces segments, lorsqu’ils vibrent ainsi, émettent les sons qui leur correspondent en fonction de leurs longueurs relatives ; tandis que la vibration de toute la longueur de la corde, en même temps, provoque la production du son qui lui est propre, appelé « son fondamental » ou « ton principal ». Les sons produits par les segments vibrant simultanément sont appelés « harmoniques » ou « partiels supérieurs ». Dans le cas des cordes vibrantes, telles que celles que nous étudions actuellement, les harmoniques se succèdent en progression arithmétique et sont produites par la vibration de segments dont les proportions peuvent être exprimées par la série harmonique 1, 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4, 1⁄5, 1⁄6, 1⁄7, 1⁄8, 1⁄9, et ainsi de suite à l’infini. Si l’on examine cette série, on constate que les harmoniques représentées par les différentes fractions doivent entretenir des relations harmoniques distinctes avec la fondamentale. On observe également que, plus la série se prolonge, plus les valeurs fractionnaires diminuent, et que la différence entre deux fractions consécutives (pour la même raison) est d’autant plus petite que leur position est éloignée de l’unité. Naturellement, cela signifie que les harmoniques représentées par ces fractions sont séparées par des intervalles de plus en plus petits. Si l’on poursuit le processus suffisamment loin, l’intervalle de séparation finit par être inférieur à un demi-ton. Il est donc clair que, dans ces conditions, les harmoniques ne peuvent plus entretenir de relation harmonique appropriée avec la fondamentale. Elles sont, de fait, dissonantes.
Nous abordons ici un fait d’une grande importance. Il est démontré, d’un point de vue acoustique, que la qualité du son dépend du nombre et de l’intensité des harmoniques qui accompagnent la note fondamentale lors de l’émission de toute note de musique. Si, pour une raison quelconque, ces harmoniques aiguës et dissonantes sont excessivement mises en évidence, elles peuvent exercer, et exercent effectivement, une influence profonde et néfaste sur la qualité des sons musicaux. Nous aurons l’occasion de confirmer ultérieurement la véracité de cette affirmation et nous apprendrons, au cours de notre étude, à apprécier pleinement son importance dans les problèmes pratiques de la conception des pianos.
Afin d’aider le lecteur à comprendre l’argument ci-dessus, le tableau suivant présente l’ordre de succession et la hauteur des harmoniques de la note Do (deuxième ligne en dessous de la portée en clé de fa). En prenant, par commodité de calcul, la hauteur de l’octave supérieure au Do central comme étant de 512 vibrations par seconde, on obtient 64 vibrations par seconde pour le Do en question.
Il convient de noter que les septième, onzième et quatorzième harmoniques, ainsi que leurs multiples, ne peuvent être indiqués qu’approximativement dans la notation musicale, car ils ne correspondent pas exactement aux notes utilisées pour les représenter. Nous devons nous contenter d’une approximation de la hauteur réelle de ces harmoniques, et la notation présentée ici est aussi précise que possible.
Un bref examen des faits ainsi exposés convaincra le lecteur qu’une combinaison d’une note fondamentale avec ses huit premières harmoniques produit un effet relativement harmonieux. Il faut cependant observer que cette harmonie s’atténue progressivement à mesure que les harmoniques supérieures sont jouées simultanément avec les autres. En fait, on peut dire que, bien que nous ne puissions ni ne devions éliminer complètement les harmoniques dissonantes, nous devrions nous efforcer de faire vibrer les cordes en toute liberté uniquement pour les huit premières harmoniques, et de manière moins libre pour les autres.
Comment atteindre ce résultat souhaitable ? Pour répondre à cette question, nous devons d’abord déterminer quelles causes prédisposantes, le cas échéant, favorisent une combinaison d’harmoniques au détriment d’une autre.
En parlant de la subdivision automatique d’une corde en segments vibrants, nous avons omis de mentionner un fait qui devrait pourtant être évident pour le lecteur : les différents points où se produit cette subdivision sont eux-mêmes immobiles.
Il serait peut-être plus exact de dire « immobiles en apparence » ; car, bien entendu, si ces points de division, ou « nœuds » comme on les appelle, étaient totalement immobiles, la formation des segments vibrants serait impossible. Cependant, dans la plupart des cas, l’amplitude du mouvement des nœuds est beaucoup plus faible que l’amplitude de vibration des segments. Par conséquent, comme la vibration des segments d’une corde est elle-même généralement invisible, le mouvement des nœuds peut être considéré comme négligeable.
Or, ces nœuds exercent une influence considérable sur les problèmes que nous étudions. Par exemple, selon les recherches de Thomas Young (13 juin 1773 – 10 mai 1829, membre de la Royal Society), il semble que lorsqu’une corde est frappée en un point quelconque, toutes les harmoniques dont les nœuds se situent à ce point sont éliminées. Curieusement, on a constaté depuis, dans le cas du piano, que les harmoniques supérieures dont les nœuds se trouvent au point de frappe ne sont pas nécessairement éliminées. Il est cependant indéniable qu’un nœud convenablement choisi constitue le meilleur point de frappe possible, car son choix permet de tirer parti de sa tendance à supprimer les harmoniques dont les nœuds se situent au même endroit.
L’examen des phénomènes déjà observés nous a permis de constater que les harmoniques supérieures du son complexe produit par une corde vibrante ne présentent pas de relations harmoniques précises avec la fondamentale. À mesure que les subdivisions successives de la corde se rapprochent de plus en plus, les sons ainsi générés sont séparés par des intervalles proportionnellement plus petits, jusqu’à ce qu’ils cessent finalement d’avoir une ressemblance étroite avec un quelconque son de l’échelle musicale. Par conséquent, comme nous l’avons déjà mentionné, ils exercent une influence généralement âpre et dissonante sur la nature du son complexe. Nous avons déjà conclu que, de manière générale, il convient d’éliminer ces harmoniques dissonantes et, inversement, de favoriser la prédominance de celles qui sont plus proches de l’harmonie. Le raisonnement qui nous a conduits à cette conclusion peut être utilement approfondi. Si les harmoniques supérieures sont non harmoniques, il est évident que leur présence ou leur absence, leur prédominance ou leur effacement, doivent nécessairement exercer une grande influence sur la qualité même d’un son musical ; sur la couleur particulière que différents instruments confèrent à la même note de musique ; en un mot, sur toutes les nombreuses nuances de ce que nous avons l’habitude d’appeler la dureté, la matité ou la douceur de la qualité sonore.
Cette conclusion inévitable a été pleinement confirmée par les résultats expérimentaux. Les travaux de Hermann von Helmholtz (le 31 août 1821 à Potsdam – le 8 septembre 1894 à Berlin-Charlottenburg et de Karl Rudolph Koenig (le 26 novembre 1832 à Königsberg – le 2 octobre 1901 à Paris), ont démontré de manière concluante que la qualité d’un son musical dépend du nombre et de l’intensité des harmoniques qui accompagnent la fondamentale. Ainsi, le mystère du timbre individuel qui distingue les voix des différents instruments de musique ou des différentes personnes est transféré du domaine de la psychologie à celui de la science. En résumé, il devient clair que si nous pouvons contrôler le nombre de segments en lesquels une corde vibrante se divise, et si nous pouvons également contrôler l’amplitude de vibration de ces segments, nous serons en mesure de modifier à volonté le timbre d’un instrument de musique.
Il a déjà été observé que la génération de certaines harmoniques est facilitée ou entravée selon la position du point de frappe sur la corde. Il convient de noter que les diverses autres méthodes d’excitation d’une corde, telles que le pincement, l’archet, etc., permettent de produire des effets tout aussi variables selon les points d’application. Notre étude, cependant, se limite au piano, et nous continuerons donc à nous concentrer sur le cas des cordes de piano frappées par les marteaux habituels.
La question du choix du point de frappe optimal a été étudiée systématiquement pour la première fois par John Broadwood (6 octobre 1732, Berwickshire – 17 juillet 1812, Londres), fondateur de la célèbre maison du même nom, au début du XIXe siècle. Jusqu’alors, les fabricants de pianos n’avaient apparemment prêté aucune attention à cet important problème et s’étaient contentés de suivre l’exemple des facteurs de clavecins et d’épinettes. L’examen de tout instrument directement apparenté au piano montre que les cordes sont frappées, indifféremment, en un point situé entre un dixième et la moitié de leur longueur vibrante. Les seules exceptions semblent être les clavicordes dont les cordes sont toutes de même longueur et où les tangentes des touches frappent les cordes en différents points fixes pour produire les notes correspondantes de la gamme. Depuis l’époque de Broadwood, cependant, l’importance capitale de la précision à cet égard a été reconnue de manière quasi unanime.
Les recherches menées par cet éminent facteur l’ont convaincu que le point de frappe idéal se situait entre un septième et un neuvième de la longueur vibrante de la corde. Or, nos propres recherches nous ont montré que le son composé le plus harmonieux et le plus agréable est celui qui est formé par la combinaison des huit premiers harmoniques. Il semblerait donc qu’un huitième de la longueur vibrante soit plus précis que l’approximation à laquelle Broadwood était parvenu. Théoriquement, en effet, ce dernier point est plus proche du point idéal ; il est, en fait, le point idéal. Cependant, pour des raisons mécaniques évidentes, il est généralement impossible d’atteindre ce point avec exactitude, et l’approximation suggérée et utilisée par Broadwood s’est avérée, par la pratique des meilleurs facteurs, la solution pratique la plus proche.
On peut donc poser comme règle de frapper la corde avec le marteau un point situé approximativement à mi-chemin entre un septième et un neuvième de sa partie de la corde qui vibre. Le respect scrupuleux de cette règle permet de lever le principal obstacle à la pureté du son et d’obtenir une combinaison harmonieuse et agréable d’harmoniques. Il convient toutefois de faire une exception pour les notes les plus aiguës du piano. L’expérience a montré qu’un dixième de la longueur de la corde constitue un meilleur point de frappe pour ces notes.
Nous avons ainsi pu énoncer et analyser les lois principales qui régissent le fonctionnement des cordes vibrantes, notamment celles du piano. Au fil de notre argumentation, il apparaîtra souvent que la précision théorique des règles énoncées ici doit être nuancée dans la pratique. Une telle situation est inévitable entre un ensemble de lois et leur application. On constatera toutefois que les variations à consigner ne sont généralement pas très importantes, et il sera bien conseillé au lecteur de faire des règles énoncées dans ce chapitre son point d’appui et son guide constants.
La différence la plus notable réside peut-être dans l’écart entre les résultats théoriques et pratiques obtenus en divisant par deux la longueur des cordes pour former des octaves. En pratique, on constate que les cordes de piano sonnent généralement légèrement en dessous de l’octave lorsqu’elles sont divisées exactement en leur milieu. Cette variation est toutefois due à la nature même du fil d’acier, et non à la règle.
CHAPITRE V.
LA GAMME MUSICALE ET L’INTONATION.
Nous avons maintenant examiné autant de phénomènes sonores musicaux qu’il est pertinent pour notre étude. Nous pouvons désormais aborder la question de l’expression des idées musicales et de l’intonation, conçue pour adapter les créations des compositeurs aux contraintes des instruments de musique. La musique s’exprime au moyen d’une gamme de notes, dont la hauteur est liée à celle de chaque note par une relation définie. La gamme diatonique, fondement de l’intonation musicale, est composée de huit notes, chacune portant le nom d’une lettre de l’alphabet. La dernière note est l’octave de la première et porte le même nom. Les fréquences de ces notes sont toujours proportionnelles, quelle que soit leur position dans l’étendue de l’instrument. La première note ayant la fréquence de 1, les fréquences des autres sont dans les proportions suivantes :
| C | D | E | F | G | A | B | C | |||||||
| 1 | 9/8 | 5⁄4 | 4⁄3 | 3⁄2 | 5⁄3 | 15⁄8 | 2 |
En divisant ces nombres proportionnels les uns par les autres, on obtient les intervalles proportionnels qui les séparent. On obtient ainsi le résultat suivant :
| C | D | E | F | G | A | B | C | |||||||
| 9/8 | 10/9 | 16/15 | 9/8 | 10/9 | 9/8 | 16/15 |
On observe dans le tableau ci-dessus trois types d’intervalles différents, représentés par les rapports 9/8, 10/9 et 16/15. Le premier est appelé ton majeur, le second ton mineur et le troisième demi-ton diatonique. À partir de ces rapports, on peut obtenir les fréquences de toute gamme diatonique. Nous choisirons la gamme dont la tonique est le do 528. Ses fréquences sont les suivantes :
| Do | Ré | Mi | Fa | Sol | La | Si | Do |
| 1 | 9/8 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 5/3 | 15/8 | 2/1 |
| 528 | 594 | 660 | 704 | 792 | 880 | 990 | 1056 |
Connaissant les rapports et les fréquences déjà calculés, il est évident que nous pouvons calculer de la même manière les rapports et les fréquences de la gamme diatonique, dont chaque note est la tonique. Cependant, il est important de rappeler que la gamme diatonique ne répond pas à tous les besoins de la musique. Les musiciens ont jugé nécessaire d’interpoler d’autres sons entre ceux qui composent la progression diatonique. En effet, pour offrir la plus grande liberté d’expression possible, la musique doit être écrite dans un plus grand nombre de tonalités et contenir davantage de sons distincts que ne le permet la gamme diatonique. Pour ces raisons, et d’autres encore, la gamme chromatique a été introduite. L’ajout de cinq demi-tons chromatiques, obtenus en calculant la différence entre un ton mineur et un demi-ton diatonique, porte la gamme chromatique à treize demi-tons de la tonique à l’octave. Malheureusement, le nombre de touches d’un piano ne permet pas d’obtenir treize sons chromatiques purs dans chaque tonalité. On peut le démontrer ainsi : le rapport d’un demi-ton chromatique est de 25/24. Le dièse de do 528 est donc de 550. Or, dans la gamme diatonique de ré (la seconde majeure de la gamme de do), do dièse a une fréquence de 1113 3/4 . L’octave inférieure à ce dernier son est le do dièse, qui se situe un demi-ton chromatique au-dessus du do 528. Nous savons que la fréquence de ce dernier est de 550 Hz. La fréquence de l’octave inférieure au do dièse, 1113 3⁄4, devrait donc être de 550 Hz. Or, nous savons que l’octave inférieure à une note donnée a une fréquence égale à la moitié de celle de cette note. La moitié de 1113 3⁄4 est 556 7⁄8. Par conséquent, nous constatons une différence de 6 7⁄8 vibrations par seconde entre le do dièse situé un demi-ton chromatique au-dessus du do 528 et le do dièse situé à l’octave inférieure à la septième majeure de la gamme de ré, qui devrait avoir la même fréquence, puisqu’il se trouve à la même position sur le clavier. En poursuivant cette investigation, nous constatons que des sons portant le même nom ne sont pas identiques lorsqu’ils sont joués dans des tonalités différentes, ou plutôt, que le fait d’avoir le même nom n’implique pas que le son ainsi désigné ait la même signification lorsqu’il est considéré par rapport à une tonique différente de celle à laquelle il était initialement associé. Une autre difficulté se pose également lorsqu’il s’agit de jouer des sons purs au piano : cet instrument, comme nous le savons, ne propose pas de touches différentes pour le dièse d’un son et le bémol du son immédiatement supérieur. On croit généralement, par exemple, que le do dièse et le ré bémol sont identiques. Or, ce n’est pas le cas. Le bémol du ré est un demi-ton chromatique en dessous de cette note, tandis que le dièse du do est le même intervalle au-dessus. En se référant à nos calculs précédents, on constate que le rapport des demi-tons chromatiques est de 25/24. Le dièse de do s’obtient donc en multipliant sa fréquence par 25/24, et le bémol de ré s’obtient par un processus inverse, c’est-à-dire en divisant sa fréquence par le même rapport. Cela revient à ajouter un demi-ton chromatique à do et à le soustraire à ré. Si l’on considère les notes do et ré de la gamme de do 528, leurs fréquences sont respectivement de 528 et 594 Hz. En effectuant la multiplication et la division comme indiqué précédemment, on constate que do dièse a une fréquence de 550 Hz, tandis que celle de ré bémol est de 570 6/25 Hz. Autrement dit, ces deux notes diffèrent d’au moins 20 6/25 vibrations par seconde.
Il devient donc évident que l’expression de tous les sons dans l’étendue d’une octave, de manière à obtenir des sons parfaitement justes dans chaque tonalité, est un problème qui requiert davantage de sonorités que celles offertes par le piano. Une bonne compréhension de ce sujet fondamental étant essentielle, nous en donnerons ici au lecteur une analyse approfondie. Le lecteur qui s’efforcera de maîtriser les subtilités de l’intonation musicale acquerra une connaissance que peu de facteurs de pianos ou de musiciens possèdent.
L’« intonation juste » désigne le système qui permet de contrôler l’expression de tous les sons audibles dans l’étendue d’une octave, afin que les degrés de chaque gamme possible soient rendus avec exactitude. Il est aisé de comprendre que les interprètes d’instruments sans notes fixes n’auront aucune difficulté à ajuster l’intonation de chaque note pour correspondre aux variations de hauteur requises par les différentes positions de ces notes dans la gamme. Des expériences ont en effet été menées avec des violonistes et il a été démontré que les artistes jouant de cet instrument jouent naturellement les véritables intervalles diatoniques et chromatiques lorsqu’ils sont laissés à eux-mêmes et lorsqu’ils ne sont pas contraints d’ajuster leur intonation à celle des instruments à tonalité fixe.
Pour indiquer avec précision le nombre total de sons différents nécessaires à la justesse de l’accord dans chaque tonalité, le lecteur est invité à consulter le tableau suivant, qui présente le nombre minimal de sons permettant d’obtenir les intervalles diatoniques exacts dans douze tonalités. La première note de chaque ligne est la tonique et la dernière, l’octave correspondante. Les fréquences des notes fondamentales non présentes dans la gamme de do majeur ont été calculées comme suit :
La tonique de Si bémol est la quarte juste de la tonique de Fa.
La tonique de Mi bémol est la quarte juste de la tonique de Si bémol.
La tonique de Fa dièse est l’octave inférieure à la septième majeure de Sol.
La tonique de Sol dièse est l’octave inférieure à la septième majeure de la gamme de La.
La tonique de Do dièse est l’octave inférieure à la septième majeure de Ré.
On obtient ainsi les résultats suivants :
| Do | Ré | Mi | Fa | Sol | La | Si | Do |
| 528 | 594 | 660 | 704 | 792 | 880 | 990 | 1056 |
| Do dièse | Ré dièse | Mi dièse | Fa dièse | Sol dièse | La dièse | Si dièse | Do dièse |
| 556 7/8 | 626 3/64 | 696 3/32 | 742 1/2 | 835 5/16 | 928 1/8 | 1044 9/64 | 1113 3/4 |
| Ré | Mi | Fa dièse | Sol | La | Si | Do dièse | Ré |
| 594 | 668 1/4 | 742 1/2 | 792 | 881 | 990 | 1113 3/4 | 1188 |
| Mi bémol | Fa | Sol | La bémol | Si bémol | Do | Ré | Mi bémol |
| 625 4/9 | 703 45/72 | 781 34/36 | 833 25/27 | 938 1/18 | 1042 11/27 | 1172 59/72 | 1250 8/9 |
| Mi | Fa dièse | Sol dièse | La | Si | Do dièse | Ré dièse | Mi |
| 660 | 742 1/2 | 825 | 880 | 990 | 1100 | 1237 1/2 | 1320 |
| Fa | Sol | La | Si bémol | Do | Ré | Mi | Fa |
| 704 | 792 | 880 | 938 2/3 | 1056 | 1173 1/3 | 1320 | 1408 |
| Fa dièse | Sol dièse | La dièse | Si | Do dièse | Ré dièse | Mi dièse | Fa dièse |
| 742 1/2 | 835 5/16 | 928 1/8 | 990 | 1113 3/4 | 1237 1/3 | 1392 3/15 | 1492 |
| Sol | La | Si | Do | Ré | Mi | Fa dièse | Sol |
| 792 | 880 | 938 | 1056 | 1173 | 1320 | 1408 | 1584 |
| Sol dièse | La dièse | Si dièse | Do dièse | Ré dièse | Mi dièse | Fa double dièse | Sol dièse |
| 825 | 928 1/8 | 1031 3/4 | 1100 | 1237 1/2 | 1375 | 1546 1/8 | 1650 |
| La | Si | Do dièse | Ré | Mi | Fa dièse | Sol dièse | La |
| 880 | 990 | 1100 | 1173 1/3 | 1320 | 1466 2/3 | 1650 | 1760 |
| Si bémol | Do | Ré | Mi bémol | Fa | Sol | La | Si bémol |
| 938 2/3 | 1056 | 11731⁄6 | 1258 8⁄9 | 1408 | 1564 4⁄9 | 1760 | 1877 1⁄3 |
| Si | Do dièse | Ré dièse | Mi | Fa dièse | Sol dièse | La dièse | Si |
| 990 | 1113 3⁄4 | 1237 1⁄2 | 1320 | 1485 | 1650 | 1856 1⁄4 | 1980 |
