Il est heureusement possible de donner des instructions assez précises pour le calcul des dimensions des cordes. En préambule, il convient de rappeler au lecteur les règles énoncées au chapitre IV, relatives au comportement des cordes tendues. On se souviendra que nous avons constaté que ces règles nécessitaient certaines adaptations en pratique, car elles ne concernaient que des cordes musicales idéales, d’une flexibilité et d’une uniformité parfaites, et tendues à une tension absolument constante.
La première adaptation qui apparaît lors de l’examen concerne la division des longueurs de cordes. Il a déjà été souligné qu’en pratique, on ne peut obtenir l’octave supérieure à la note fondamentale d’une corde de piano donnée en la divisant exactement en son milieu. Inversement, un doublement exact de la longueur ne produit pas l’octave inférieure exacte à la note fondamentale donnée. Cet écart s’explique par le fait que le raccourcissement ou l’allongement d’une corde donnée entraîne une modification correspondante de la tension à laquelle elle est maintenue et de la densité d’adhérence de ses molécules.
Si l’on double la longueur d’une corde pour obtenir l’octave inférieure à sa fondamentale, on diminue sa tension, ce qui ralentit sa fréquence de vibration. Par ailleurs, l’augmentation de la résilience de la corde due à son allongement tend également à diminuer sa fréquence. Les fréquences de vibration d’une corde sont directement proportionnelles à la racine carrée de sa tension, inversement proportionnelles à son épaisseur et directement proportionnelles à sa rigidité. Ces axiomes étant admis, on observe que pour obtenir une octave inférieure à une fondamentale donnée, il faut obtenir la moitié de la fréquence qui produit cette fondamentale. Par conséquent, comme indiqué précédemment, la longueur doublée doit être réduite d’un quart pour compenser la diminution automatique de la rigidité, qui est directement proportionnelle à la fréquence. Cette modification doit elle-même être ajustée pour compenser l’augmentation de fréquence induite par le raccourcissement. Il faut donc considérer la tension, et l’on constate que la réduire tend à nouveau à diminuer la rigidité dans les mêmes proportions qu’elle l’était initialement. Or, la fréquence de vibration est proportionnelle à la racine carrée de la tension. On prend donc la racine carrée d’un quart, qui était la première fraction obtenue. Cette racine est un seizième et constitue le facteur différentiel qu’il faut soustraire des longueurs d’octave idéales pour obtenir les longueurs pratiques.
Il apparaîtra clairement, comme le lecteur le constatera, que le facteur différentiel proposé ici ne résout pas entièrement le problème des différences observées entre la théorie et la pratique. Il constitue néanmoins un guide fiable pour le calcul des longueurs. Il reste bien sûr à prendre en compte une différence de fréquence produite. Heureusement, les épaisseurs variables des cordes de piano permettent de pallier ce problème. En exploitant cette gradation de diamètre quasi géométrique, nous pouvons calculer un système d’accordage qui, s’il est respecté, offre la meilleure approximation possible d’une parfaite harmonie entre la théorie et la pratique. Autrement dit, nous pouvons procéder à un calcul de longueur de corde à partir du facteur différentiel déjà obtenu, puis, en répartissant les épaisseurs de cordes selon les diamètres fournis par les fabricants de cordes à musique, obtenir une estimation précise, non seulement de l’épaisseur de corde à utiliser à chaque endroit, mais aussi de la longueur propre à chaque corde. Le lecteur se souviendra bien sûr que la hauteur du son est un facteur primordial dans tous les calculs de ce type. Une différence de hauteur de son implique une différence de tension lorsque les autres facteurs restent égaux. C’est pourquoi nous avons calculé les tableaux suivants en supposant que la hauteur de son utilisée est celle connue sous le nom de Do international ou Do 517. Veuillez donc vous référer au tableau suivant :
| Tableau indiquant les longueurs réelles des cordes d’octave, de la corde de Do la plus aiguë à la dernière corde de Do généralement laissée non enroulée. | |||
| Do5 | ≈ 5,202cm | ||
| Do4 | = 5,202 | ×1,9375 | ≈ 10,079cm |
| Do3 | =10,079 | ×1,9375 | ≈ 19,528cm |
| Do2 | =19,528 | ×1,9375 | ≈ 37,783cm |
| Do1 | =37,783 | ×1,9375 | ≈ 73,203cm |
| Do0 | =73,203 | ×1,9375 | ≈141,803cm |
[Note.—La longueur de la première corde est choisie arbitrairement, mais elle constitue une très bonne approximation de la pratique des meilleurs fabricants américains. Le facteur différentiel est, comme nous le savons, de 1/16. Par conséquent, nous multiplions par ( 2 − 1/16 ) soit 1 15/16 ; en décimal, cela donne 1,9375.]
Le tableau ci-dessus nous offre donc un guide fiable pour la mise à l’échelle des cordes non enroulées. Cependant, il est loin d’être complet, car aucune méthode n’est encore présentée pour le calcul des autres longueurs de cordes et des longueurs intermédiaires. Nous pouvons néanmoins accomplir cette tâche grâce à une règle très ingénieuse proposée par feu le professeur William Pole, F.R.S. Voici comment procéder :
La longueur idéale d’une corde peut être déterminée à partir de celle d’une autre, à condition de connaître la longueur et la fréquence de cette dernière. Pour cela :
1. Calculez le logarithme de la longueur de la corde connue.
2. Multipliez 0,025086 par le nombre de demi-tons qui séparent la note obtenue avec la corde de longueur recherchée de celle produite par la corde donnée.
3. Si la note obtenue est inférieure à la note donnée, additionnez les deux résultats ; si elle est supérieure, soustrayez le second résultat du premier. Le résultat obtenu dans les deux cas est le logarithme de la longueur idéale.
Par exemple, nous avons déjà calculé la longueur idéale du Do. En centièmes de pouce, cette longueur est de 2882. Le logarithme de ce nombre est 45943. (Ce résultat peut être vérifié à l’aide de n’importe quelle table de logarithmes.)
Par exemple, nous avons déjà calculé la longueur appropriée de Do. En centièmes de pouce, cette longueur est exprimée par 7320. Le log. de ce nombre est 116695. (Cela peut être vérifié par n’importe quelle table de logarithmes.)
Il est nécessaire d’obtenir la longueur de la corde qui, caeteris paribus, produira un demi-ton au-dessus de Do.
116695 = logarithm de 7320
06370 (6) = 0.6370 (6) × le nombre (1) de demi-tons pour lesquels les cordes sonnent au-dessus d’une corde donnée
Par soustraction, 110325 = log. de 6903 = longueur de chaîne requise en centièmes de cm
∴ Longueur requise pour Do dièse = 68 58⁄100 cm
En inversant le processus décrit ci-dessus et en ajoutant au lieu de soustraire, les longueurs appropriées pour le demi-ton ci-dessous et tous les autres en progression descendante peuvent être calculées avec précision.
Ayant ainsi réglé la question de la longueur des cordes, nous pouvons aborder celle de leur diamètre. Il convient toutefois de préciser d’emblée que les longueurs calculées ici ne concernent que les pianos dont la taille permet d’obtenir des cordes de longueur idéale. Les pianos droits de très petite taille, par exemple, ne peuvent être inclus dans cette catégorie, sauf en ce qui concerne leurs cordes les plus aiguës. Sur tous les pianos, quelle que soit leur taille, les cordes aiguës ont pratiquement la même longueur ; mais on constatera que la faible hauteur d’un piano droit ou la faible longueur d’un piano à queue, vers le milieu de la gamme, affectent considérablement les proportions des cordes. Comme nous l’avons déjà souligné, il n’existe que deux solutions pour corriger ces disproportions : modifier la tension ou l’épaisseur des cordes. Mais de telles modifications perturbent nécessairement l’équilibre tonal ; et c’est là une des principales raisons de la piètre qualité sonore des pianos droits ou à queue usés. De plus, il ne faut pas oublier qu’une épaisseur disproportionnée ou une tension trop faible affectent la nature même des vibrations produites par la corde. Ces effets se font sentir tant au niveau de la fréquence que de la forme. Il en résulte naturellement une mauvaise sonorité et une incapacité à tenir l’accord. Ceci n’est pas un argument contre le petit piano ; il s’agit plutôt de montrer que l’on ne peut exiger l’impossible de ces petits instruments, qu’ils soient horizontaux ou verticaux. Si la construction de petits instruments est inévitable, il nous faut revoir nos calculs et établir les longueurs de cordes selon une autre méthode de répartition. Toutefois, dans le cadre de ce travail, les calculs ont été effectués en supposant la conception d’un piano de taille standard.
Passons maintenant à l’étude des diamètres des cordes. Le fil d’acier moulé utilisé pour les cordes de piano est disponible en différentes épaisseurs, numérotées et graduées. Les numéros couramment utilisés vont de 13 à 24. D’après les tests effectués à l’Exposition universelle de Chicago à l’aide de la machine d’essai Riehle Bros., les fils portant ces numéros présentaient les diamètres suivants et se rompaient sous les contraintes mécaniques suivantes. Le fil fabriqué par la société Moritz Poehlmann de Nuremberg, en Allemagne, a été sélectionné parmi les différents produits soumis à ces tests en raison de sa durabilité supérieure et de la régularité de sa gradation.
| Numéro (à l’époque) | Diamètre (en fractions de millimètre) | Contrainte mécanique de rupture (kg) |
| 13 | 0.762 | 147 |
| 14 | 0.787 | 152 |
| 15 | 0.812 | 159 |
| 16 | 0.889 | 181 |
| 17 | 0.940 | 188 |
| 18 | 1.016 | |
| 19 | 1.067 | |
| 20 | 1.118 | |
Il est bien connu, et cela ressort clairement de ce qui a déjà été dit, que les proportions entre la longueur, la tension, le diamètre et la résistance à la rupture ne permettent d’utiliser d’autre disposition pour le tressage des cordes que celle universellement acceptée par les facteurs de pianos. Autrement dit, les cordes les plus courtes sont prélevées sur les fils les plus fins, et inversement, le tressage étant conçu de manière à ce que, pour chaque note, ses cordes soient tendues à une tension sensiblement identique. L’expérience et les observations des plus éminents fabricants semblent avoir établi que la tension de chaque corde nue doit être maintenue, autant que possible, à 72,5 kg. Dans ce cas, un piano ainsi construit produira la hauteur de note correcte pour chaque corde, lorsque les longueurs sont calculées selon les tableaux mentionnés. Il sera bien entendu nécessaire d’adapter proportionnellement le nombre de cordes prélevées sur chaque fil. On constatera que la meilleure pratique consiste à tenir compte des demi-tailles non représentées ici et à monter l’instrument avec une moyenne de cinq notes par épaisseur de fil, en commençant par 13 ou 13,5 et en poursuivant jusqu’à la fin des cordes non filées, conformément aux indications générales. L’expérience et la vision du concepteur, éclairées par les connaissances que cet ouvrage vise à transmettre, constituent les meilleurs guides. L’induction empirique, fondée sur l’observation et l’expérience, est le seul moyen pratique et efficace de déterminer le montage optimal pour chaque instrument. Cet empirisme s’applique tout particulièrement au montage des cordes et se manifeste notamment dans la variété des méthodes employées par les fabricants pour déterminer le nombre de cordes dans les sections non filées de la gamme. Ainsi, certains fabricants prolongent le filage jusqu’au début des cordes aiguës et équipent deux ou trois groupes de cordes de fil filé avant de commencer le sur-filage. L’objectif est soit de corriger les défauts de conception initiaux du diapason, soit d’atténuer la rupture de tonalité qui se produit souvent à l’endroit où commence généralement le surcordage (overstringing). D’après l’observation des pratiques des meilleurs fabricants, on constate que le Do en dessous du Do central est généralement la première corde surcordée. Bien sûr, sur un instrument très petit, il est souvent impossible de donner aux dernières cordes non filées la longueur adéquate. Dans ce cas, ces cordes problématiques peuvent soit être recouvertes d’un léger enroulement, soit être placées directement par-dessus dans la partie surcordée de la gamme, auquel cas elles seront de toute façon enroulées.
Partant du principe que le nombre de cordes superposées est déterminé, nous pouvons aborder l’étude des dimensions, du nombre et du revêtement des cordes à utiliser. Force est de constater que l’obtention d’une bonne sonorité à la basse est un défi de taille. Il n’est cependant nullement insurmontable, comme l’ont déjà démontré les succès de plusieurs fabricants de renom.
La solution la plus simple, la plus évidente et la plus facile aux difficultés inhérentes au dimensionnement des cordes de basse réside dans le choix de leur longueur optimale. Il est aisé de comprendre que plus les cordes sont longues, moins elles nécessitent de tension. En effet, si l’on fait en sorte que les cordes de basse atteignent la longueur qu’elles auraient sans être filées, on pourra réduire proportionnellement le contrôle artificiel nécessaire sur la vitesse de vibration. De plus, cette longueur accrue implique une tension plus importante. Autrement dit, comme nous l’avons vu précédemment, la tension à laquelle une corde est tendue permet de surmonter la lenteur de la vitesse de vibration induite par sa plus grande longueur et, par conséquent, tend à générer une progression plus régulière des harmoniques supérieures (comme l’a démontré l’expérience), avec pour conséquence une plus grande pureté de la qualité sonore.
On peut considérer comme un axiome que les cordes de basse doivent être aussi longues et, simultanément, aussi légères que possible, et que leur poids doit être strictement proportionnel à la hauteur du son qu’elles doivent produire, à une tension donnée. Concernant la seconde condition, il convient de rappeler que les contraintes d’espace à l’intérieur du piano déterminent généralement la longueur possible des cordes de basse. À tel point qu’il est souvent difficile de faire une grande différence entre leurs longueurs respectives. Les meilleurs facteurs semblent s’accorder sur une méthode à la fois simple et efficace pour résoudre ce problème. Ils reconnaissent l’avantage considérable de dimensionner les cordes de basse à la longueur maximale possible, puis veillent à ce que l’augmentation de longueur vers la basse ne dépasse pas un cinquième de longueur par rapport à la plus aiguë. Dans le même temps, ils ajustent le poids du matériau d’enroulement de manière à obtenir les mêmes résultats que si les fils étaient dimensionnés avec la même précision, en longueur proportionnelle, que les simples fils de métal.
Cette égalisation n’est, bien sûr, qu’approximative. En effet, les vibrations produites par deux cordes de même hauteur diffèrent dès lors que les divers facteurs régissant leur émission sonore varient. Ainsi, lorsque la longueur d’une corde est modifiée, aucun ajustement de sa tension, de son épaisseur ou de sa densité ne peut lui restituer exactement la vibration qu’elle possédait à l’origine. Par conséquent, il devient impossible de reproduire, à partir de cordes pondérées artificiellement, la même série de notes partielles qu’une simple corde métallique, même si les sons produits par les deux cordes sont de même hauteur.
La leçon est claire : la perfection sonore ne pouvant être atteinte que partiellement, il est primordial d’accorder une attention particulière au réglage des cordes graves afin de disposer d’un ensemble de sources sonores fiables permettant de reproduire au mieux les successions de notes partielles habituellement émises dans les aigus du piano. Il apparaît donc clairement que la longueur maximale réalisable et le poids minimal réalisable sont les principaux facteurs qui doivent guider le concepteur dans la définition de la gamme des cordes de basse.
La densité relative des matériaux d’enroulement utilisés pour la fabrication des cordes de basse a fait l’objet de nombreuses études. Le laiton, premier matériau testé, a depuis longtemps été supplanté par le cuivre ou le fer. Quant aux avantages respectifs de ces deux matériaux, le principal, voire l’unique, avantage du fer réside dans son faible coût. Sur le plan acoustique, le cuivre constitue néanmoins le matériau le plus adapté à l’enroulement des cordes de basse, et ce pour les raisons suivantes : sa densité est de 8,78, contre seulement 7,78 pour le fer. De plus, bien que moins tenace, le cuivre présente l’avantage d’une ductilité supérieure, ce qui lui confère des qualités élastiques remarquables. Il est donc évident que le cuivre est un matériau plus approprié à la production du son musical que le fer, et les qualités que nous venons de mentionner sont précisément celles qui sont les plus utiles à la production de progressions harmoniques de sons partiels. Il est donc clair qu’entre le cuivre et le fer, tous les avantages penchent du côté du premier.
Le fil le plus épais utilisé pour les cordes nues est généralement du n° 24. Cependant, pour commencer la gamme des cordes graves, on choisit du n° 17 ou du n° 18 pour les notes les plus proches de l’aigu. Le fil de revêtement est généralement du n° 25 au n° 28 (calibre standard, et non musical), selon la taille du piano et la longueur de corde disponible. Bien sûr, les cordes plus longues peuvent être revêtues d’un fil plus fin. La première corde revêtue est généralement environ six fois plus courte que la corde qui la précède immédiatement. Cette proportion, comme indiqué précédemment, peut toutefois être avantageusement ignorée si cela permet d’allonger les cordes graves. Il y a toujours deux cordes revêtues par note, et l’épaisseur du fil de revêtement doit être augmentée progressivement en descendant la gamme. On peut raisonnablement envisager une augmentation décroissante d’une unité de l’épaisseur du fil de revêtement pour chaque paire de cordes, sauf si leurs longueurs sont trop proches, ou inversement, auquel cas des ajustements appropriés peuvent être apportés. En supposant que les longueurs décroissantes suivent une progression arithmétique avec une moyenne de 19 mm, et que la corde revêtue la plus aiguë mesure 1143 mm, l’augmentation d’épaisseur suggérée devrait être valable en toutes circonstances. Il arrive cependant que les contraintes d’espace d’un instrument ou d’autres considérations pratiques empêchent d’appliquer ces règles à la lettre. Quoi qu’il en soit, il faut se rappeler que toutes ces règles sont elles-mêmes le fruit de l’observation empirique et que c’est à ces observations qu’il faut se référer lorsqu’il est nécessaire de les réviser pour répondre aux exigences d’une situation particulière.
CHAPITRE VIII.
RÉSONANCE ET SYSTÈME DE RÉSONANCE DU PIANO.
Nous avons maintenant mené une étude approfondie de la nature et du comportement des différents matériaux et substances utilisés dans la fabrication des cordes de piano. De cette étude, nous avons pu déduire un ensemble de règles qui, appliquées concrètement, nous guideront dans la résolution de nombreux problèmes complexes, lesquels trouvent leur origine dans les contraintes imposées au concepteur par l’espace disponible et les autres contraintes mécaniques de la construction du piano. Il ne serait toutefois pas opportun d’aborder immédiatement les questions pratiques relatives au support des cordes. En effet, nous devons encore trouver les solutions à une autre série de problèmes qui ne proviennent pas des cordes elles-mêmes, mais de leurs accessoires essentiels : la table d’harmonie et le chevalet.
Le chevalet assure la liaison entre les cordes et la table d’harmonie. Par ce biais, les vibrations produites dans les cordes sont transmises à la surface vibrante de la table d’harmonie, ce qui amplifie considérablement la sonorité des sons générés. Tel est le principe général du processus. Toutefois, pour bien comprendre le sujet, il convient d’examiner les phénomènes induits par la juxtaposition des cordes, du chevalet et de la table d’harmonie. Il nous faut donc faire un bref détour par le domaine de l’acoustique.
La propriété de la table d’harmonie à renforcer et amplifier les sons produits par les cordes est appelée « résonance ». Bien que cette propriété des corps sonores soit essentielle pour les musiciens et les fabricants des instruments de musique, elle reste largement méconnue du grand public. Ceci est d’autant plus remarquable que, sans résonance, aucun instrument de musique ne serait possible. Il est aisé de comprendre que la musique, telle que nous la connaissons, ne saurait exister si son expression se limitait aux corps qui produisent les sons musicaux. Le piano illustre parfaitement ce fait. Le son d’une corde de piano, sans amplification, est ridiculement faible ; en réalité, il est inaudible à quelques mètres. Pourtant, nous connaissons tous les sons merveilleusement harmonieux et puissants que cette même corde produit grâce à la table d’harmonie.
La résonance peut se définir comme la propriété d’un corps sonore d’affecter ses vibrations à un autre corps sonore. L’existence de ce phénomène peut être démontrée de diverses manières. Le piano lui-même en fournit la preuve la plus simple. Par exemple, si l’on appuie sur une touche et, simultanément, sur la touche correspondante une octave plus haut, de façon à lever l’étouffoir sans lever le marteau, on constate que si l’on relâche la première touche tandis que l’autre reste ouverte, la corde correspondante continue de vibrer. Dans ce cas, les vibrations excitées dans la première corde se propagent le long du chevalet jusqu’à atteindre la corde à vide la plus proche dont la fréquence de vibration est synchrone avec celle de la corde initialement vibrante. Lorsqu’une telle corde est atteinte, elle est immédiatement imprégnée des vibrations excitées dans la première, avec les résultats décrits précédemment. Il s’agit d’un cas de résonance entre deux corps liés. Aussi étrange que cela puisse paraître, il n’est pas indispensable, comme condition préalable à l’existence d’une résonance entre deux corps sonores, qu’ils soient tangiblement reliés. Par exemple, on peut reproduire l’expérience précédente en utilisant deux pianos et en choisissant un son sur chacun. Le résultat sera exactement le même. Il convient toutefois de noter que seuls les sons dont les fréquences de vibration sont synchrones ou quasi synchrones présenteront le phénomène de résonance lorsqu’ils sont séparés. En revanche, lorsqu’ils sont reliés, notamment par une table d’harmonie spécialement conçue à cet effet, la synchronisation n’est pas nécessaire. En effet, il est communément admis que la table d’harmonie du piano, associée au chevalet, induit une vibration plus ou moins intense sur chaque corde de l’instrument lorsque les étouffoirs sont relevés, même si une seule corde est jouée. Lorsque l’on appuie sur la pédale forte, chaque corde de l’instrument se met immédiatement en vibration et produit un son. Il en résulte une forte augmentation du volume sonore total produit. Bien sûr, le son de chaque corde ainsi excitée par sympathie est relativement faible, mais le volume total est considérable, avec une intensité particulière dans les harmoniques de chaque corde dont les fréquences de vibration sont plus ou moins synchrones avec les sons initialement produits par la frappe des touches. En revanche, lorsque les étouffoirs sont laissés en position normale, la table d’harmonie exerce son pouvoir de résonance différemment. Lorsqu’une corde ou un groupe de cordes est frappé, la table d’harmonie entre en vibration, ce qui n’affecte que la table elle-même et non les cordes qui restent étouffées. Cette excitation a pour effet d’exposer une surface vibrante relativement importante à l’atmosphère, ce qui multiplie considérablement la quantité d’air mise en mouvement périodique. Ainsi, l’épaisseur des couches d’air mises en mouvement, et les ondes sonores qui en résultent, augmentent jusqu’à produire des sons d’une intensité et d’une richesse que l’on associe habituellement au piano.
